<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 8 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          6 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2009 11 edio 
          Editora Scipione. 

          Quarta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627273-6

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
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          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
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<P>
                                I
 Sumrio

Quarta Parte

<R+>
Captulo 7 -- Tringulos, quadrilteros e 
  circunferncias 
 1- Bissetriz, altura e 
  mediana em tringulos ::::: 329 
 2- Tringulos 
  congruentes ::::::::::::::: 342
 3- Quadrilteros:
  definies e 
  classificaes :::::::::::: 363
 4- Propriedades dos 
  paralelogramos :::::::::::: 376
 5- Circunferncia ::::::::: 388
 6- ngulos centrais ::::::: 396
 Que figura vai dar? ao 
  sobre ngulos ::::::::::::: 407
 7- ngulos inscritos :::::: 409
 8- Algumas construes 
  geomtricas no plano :::::: 417
<P>
 9- Algumas construes 
  geomtricas no espao ::::: 430
 Construes geomtricas em 
  trs dimenses: ao sobre 
  figuras espaciais ::::::::: 442
<R->

<143>
<tmat. medida c. 8>
<T+329>
Captulo 7 -- Tringulos, 
  quadrilteros e circunferncias 

<144>
1- Bissetriz, altura e mediana 
  em tringulos 

  O tringulo {a{b{c da figura _`[no adaptada_`]  escaleno: seus trs lados tm tamanhos diferentes. 
  Observe os segmentos ^c?{a{h*, ^c?{a{s* e ^c?{a{m*:
<R+>
  ^c?{a{h*  perpendicular a ^c?{b{c*. Por isso, dizemos que ^c?{a{h*  uma altura do tringulo. ( a altura em relao  base ^c?{b{c*.)
  ^c?{a{s*  um segmento contido na bissetriz do ngulo :A. Por isso, dizemos que ^c?{a{s*  uma bissetriz do tringulo. ( a bissetriz em relao ao vrtice A.) 
  ^c?{a{m* liga A ao ponto mdio de ^c?{b{c*. Por isso, dizemos que ^c?{a{m*  uma mediana do 
<P>
  tringulo. ( a mediana em relao ao lado {b{c.) 
<R->

Bissetriz, altura e mediana num 
  tringulo de papel 

<R+>
_`[{para as atividades a seguir, pea orientao ao professor_`]
<R->

Bissetriz 

  Dobre, para que um lado fique sobre o outro. Depois, desdobre. 

Altura 

  Dobre, para que a base fique sobre ela mesma. Depois, desdobre. 

<145>
Ponto mdio 

  Dobre, fazendo os pontos extremos da base coincidirem. Depois, desdobre. 
<P>
Mediana 

  Faa uma dobra, unindo o ponto mdio ao vrtice oposto. 

Bissetriz, altura e mediana  
  nos tringulos issceles e 
  equilteros 

  Como voc j sabe, em um tringulo issceles h um eixo de simetria, que  mediatriz da base. 
  Por essa razo, tanto a altura e a mediana relativas  base quanto a bissetriz do ngulo oposto ficam sobre o eixo de simetria. Ou seja, dentro do tringulo, essas cevianas -- bissetriz, altura e mediana -- coincidem. Observe isso na figura. 
<P>
<F->
           l        
           lI
          l
          l 
          l     
          l              
          l         
          l                 
          r::                       
          l_-_    
  j::::::::r::j:::::h 
 O        lM     S
           l
<F+>

<R+>
^c?{o{i*==^c?{i{s*
 ^c?{o{m*==^c?{m{s*
 ~:,?{i{m*  o eixo de simetria. Por isso, conclumos que:
 ^c?{i{m*  bissetriz de :I;
 ^c?{i{m*  altura relativa  base;
 ^c?{i{m*  mediana da base.
<R->

  Passemos ento aos tringulos equilteros. Voc pode pensar no tringulo equiltero como um "superissceles". Isto , ele tem trs eixos de simetria e, por is-
<P>
so, qualquer lado pode ser considerado base. 
<146>
  Por isso, bissetriz, altura e mediana coincidem em relao a qualquer uma das trs bases possveis. Veja: 

<R+>
_`[{quatro desenhos no adaptados, seguidos por suas legendas_`]
 Legenda 1: Os trs eixos de simetria do tringulo equiltero.
 Legenda 2: ^c?{a{m*  altura e mediana. :,?{a{m*  bissetriz.
 Legenda 3: ^c?{c{n*  altura e mediana. :,?{c{n*  bissetriz.
 Legenda 4: ^c?{b{o*  altura e mediana. :,?{b{o*  bissetriz.
<R-> 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Isso mostra que os tringulos equilteros so muito especiais!
<P>
_`[{tirinha em seis quadrinhos_`]

<R+>
  A professora, apontando para um tringulo equiltero desenhado no quadro, pergunta para uma aluna: "Vamos ver, Liberdade; este  um tringulo... como?" A menina responde: "Como Deus manda." A professora insiste: "No, preste ateno; se este lado, este lado e este lado medem a mesma coisa,  um tringulo...?" "Chatssimo", responde Liberdade. A professora, mais uma vez, insiste: "No!! $"Um tringulo cujos lados *so todos iguais*$" ...?" "Ah!... Socialista!" responde a aluna.

Atividades

_`[{para as atividades de 1 a 5 pea orientao ao professor_`]

1. Veja a figura _`[no adaptada_`] e depois responda. 
  No lugar de ..., o que se deve 
<P>
  escrever: altura, mediana ou bissetriz? 
 a) ^c?{a{h*  ... 
 b) ^c?{a{m*  ...

2. No tringulo {t{i{o _`[no adaptado_`], que nome recebe o segmento ^c?{t{m*? E o segmento ^c?{i{n*? 
<147>
 3. Usando a figura _`[no adaptada_`] e as informaes dadas, calcule :A, :B e :C, ou seja, a medida dos ngulos internos do tringulo. 
  ^c?{a{s*  bissetriz do 
  tringulo. 
  :?{b{a{s*=30 e :?{s{b{a*=50.
 4. No tringulo {a{b{c _`[no adaptado_`], quanto mede o ngulo agudo formado por ^c?{b{r* e ^c?{c{s*?
  ^c?{b{r* e ^c?{c{s* so bissetrizes do tringulo. :?{a{b{c*=40 e :?{a{c{b*=80. 
<P>
 5. Usando a figura _`[no adaptada_`] e as informaes dadas, calcule x e y. 
  ^c?{b{h* e ^c?{c{i* so alturas do tringulo. 
  :?{b{a{c*=70 e :?{a{b{c*=80. 

6. Observe a figura:
<F->
  ^c?{a{b*=13 cm
  ^c?{a{c*=13 cm
  ^c?{s{c*=5 cm

          A
           '
          l
          l 
          l     
          l               
          l         
          l                 
          l                          
   -------v-------u   
  C      S      B
<F+>
<P>
a) Que tipo de tringulo  esse? 
 b) Qual  a medida de :?{a{s{c*? 
 c) Qual  a medida de ^c?{b{s*?

7. Num tringulo issceles, um dos ngulos mede 50. Quanto medem os outros ngulos? (Cuidado! H duas solues.)

8. Imagine dois tringulos: {a{b{c com {a{b=3 cm, 
  {a{c=4 cm, {b{c=5 cm e {e{f{g com os trs lados medindo 4 cm. 
 a) No primeiro tringulo, a altura que sai do vrtice A coincide com a mediana que sai do mesmo vrtice? 
 b) No segundo tringulo, a altura que sai do vrtice E coincide com a mediana que sai do mesmo vrtice?
<P>
9. Se {a{b{c  um tringulo issceles com ^c?{a{b*==^c?{a{c* e :A=100, quanto mede o ngulo agudo formado pelas bissetrizes de :B e :C?
 10. Na figura _`[no adaptada_`], ^c?{c{d*==^c?{c{a*. Alm disso, o tringulo {a{b{c  equiltero. 
  Descubra a medida dos ngulos :?{b{d{a* e :?{b{a{d*. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<148>
Pensando em casa

11. No tringulo {a{b{c da figura, ^c?{n{a*  altura?  mediana?  bissetriz? 
<P>

<F->
            A
             '
            l
            l 
     2,2   l   2,2   
            l              
            l         
            l                 
            r::                       
            l_-_       
    j::::::::h::j:::::h
   B       N       C
<F+>

_`[{para as atividades 12 e 13, pea orientao ao professor_`]

12. Copie o tringulo _`[no adaptado_`] em papel quadriculado. Usando o quadriculado, trace a bissetriz e a mediana que saem do vrtice X. ( preciso pensar um pouco...) 
 13. No tringulo da figura _`[no adaptada_`], ^c?{a{b*==^c?{b{c*. Por isso, o tringulo  issceles. Mas a altura ^c?{a{h* e a mediana ^c?{a{m* no coincidem. 
  Elas deveriam coincidir? Justifique sua resposta. 
 14. Um tringulo  issceles e retngulo (isto , tem um ngulo reto). Quanto mede cada um de seus ngulos internos?
 15. Usando a figura e as informaes dadas, encontre a medida dos ngulos internos do tringulo {t{r{i. 
  ^c?{t{h*  altura. 
  :?{r{t{h*=30 e :?{h{t{i*=40 
 
<F->
           T
            
           _^
           _  ^
           _    ^
           _      ^       
           _        ^
           _          ^      
           _            ^              
    -------#--------------u   
   R      H             I
<F+>
<P>
16. Se um dos ngulos de um tringulo issceles mede 26, qual  a medida dos outros dois ngulos?

_`[{para as atividades 17 e 18, pea orientao ao professor_`]

17. Desenhe (pode ser  mo livre) um tringulo issceles {a{b{c com :B=:C=70. Marque M, ponto mdio de ^c?{a{b*, e N, ponto mdio de ^c?{a{c*. 
 a) Como se classifica o tringulo {a{m{n? Por qu? 
 b) Qual  a medida do ngulo :?{a{n{m*? 
 c) Qual  a medida do ngulo :?{b{m{n*?

18. O quadriltero _`[no adaptado_`] da figura chama-se pipa. Ele tem dois lados de pares iguais: ^c?{a{d*==^c?{a{b* e ^c?{c{d*==^c?{c{b*.
<P>
 a) Como se classifica o tringulo {a{b{d? E o tringulo {c{d{b? 
 b) Sabendo que o ngulo :A  reto e que :C=30, calcule a medida dos outros ngulos internos do quadriltero.

19. Explique com suas palavras o que : 
 a) mediana de um tringulo; 
 b) tringulo escaleno. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<149>
2- Tringulos congruentes 

  Vamos apresentar critrios para verificar se dois tringulos so congruentes. Voc j sabe que, nesse caso, eles podem ser sobrepostos de maneira que os vrtices coincidam. Entretanto, como nem sempre podemos colocar um dos tringulos sobre o outro, os critrios so teis. 
<P>
O caso LAL 

  Considere dois tringulos com dois lados e o ngulo compreendido entre esses lados congruentes. Com essas trs informaes, podemos ter certeza de que os tringulos so congruentes. 
  Veja os tringulos com lados de *a* cm, *b* cm e um ngulo de 80}. Se colocarmos o ngulo :A sobre o ngulo :D, os lados de mesma medida coincidiro e os tringulos ficaro exatamente sobrepostos. 

<F->

                     
                      
                       
  a             a       
                               
   80}          80}     
 ------------u  ------------u
A      b       D      b
<F+>
<P>
  Se dois tringulos tm dois lados e o ngulo formado por eles respectivamente congruentes, esses tringulos so congruentes. 

  Essa propriedade  conhecida como caso LAL (lado-ngulo-
 -lado) de congruncia. 

<150>
Caso LLL 

  Faa um tringulo com tachinhas e canudos de refresco. Esse tringulo no se move, isto , seus ngulos no tm como mudar, a no ser que voc entorte os lados. Por isso, dizemos que o tringulo  rgido. J um quadriltero construdo da mesma maneira pode assumir vrias formas e no  rgido. 
<P>

<R+>
<F->
 l       _
:r:::::::w:
 l       _
 l       _
 l       _
 l       _ 
:r:::::::w:
 l       _
<F+>

Legenda: O quadriltero se deforma, tem jogo nas articulaes.

<F->
      
      
       
        
         
..........u..
            
<F+>

Legenda: O tringulo  rgido.
<R->

  Engenheiros, marceneiros e carpinteiros tiram proveito da rigidez do tringulo, fazendo estruturas de sustentao triangulares. Observe as pontes da ilustrao. 

<R+>
_`[{ilustrao de uma ponte com estrutura de sustentao em forma de quadrilteros_`]
 Legenda: Sustentao ruim, porque os quadrilteros da estrutura se deformam.

_`[{ilustrao de uma ponte com estrutura de sustentao triangular_`]
 Legenda: Sustentao boa, porque a estrutura triangular  rgida.
<R->

  A rigidez do tringulo  um fato da natureza. Na geometria, esse fato  traduzido na seguinte propriedade: 

  Se os lados dos tringulos so respectivamente congruentes, ento, eles so congruentes. 

  Essa propriedade  conhecida como caso LLL (lado-lado-lado) de congruncia. 
<151>
 Casos envolvendo congruncia dos 
  ngulos: ALA e LAAo 

  Conhecendo o caso LLL, podemos pensar no caso AAA. Ser que se os tringulos tiverem os trs ngulos de mesma medida tambm sero congruentes? 
  Essa conjectura  falsa, como podemos ver nos esquadros triangulares _`[no adaptados_`] que so usados para desenho. H esquadros com ngulos de 30}, 60} e 90} de vrios tamanhos. 
  Portanto, os trs ngulos no determinam o tringulo: h infinitos tringulos de diferentes tamanhos, com as mesmas medidas de ngulo. 
  No entanto, se, alm dos ngulos, os dois tringulos tiverem um lado congruente, eles sero congruentes. Mas ateno: o lado deve estar na mesma posio relativa nos dois tringulos. Quando isso no acontece, no h congruncia de tringulos. Veja os exemplos: 

<R+>
_`[{dois desenhos seguidos de legendas_`]
 Legenda 1: Tringulos congru-
  entes.
 Legenda 2: Tringulos no congruentes: os lados de mesmo comprimento no esto na mesma posio relativa.
<R->

  Para se certificar de que os tringulos tm ngulos congruentes, basta saber a medida de dois ngulos de cada tringulo. Em relao aos dois ngulos considerados, o lado congruente pode ter duas posies: entre os ngulos ou oposto a um dos ngulos. 

<R+>
_`[{desenho de dois tringulos_`]
 Legenda: Lado entre os ngulos: ALA.
<P>
_`[{desenho de dois tringulos_`]
 Legenda: Lado oposto a um dos ngulos: LAAo.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<152> 
  Assim, distinguimos mais estes casos de congruncia: 
<R+>
  Se dois tringulos tm dois ngulos e o lado entre eles com as mesmas medidas, respectivamente, ento os tringulos so congruentes. 
  Se dois tringulos tm dois lados e o ngulo formado entre eles respectivamente congruentes, ento os tringulos so congruentes. 
<R->
  A palavra respectivamente na concluso acima indica que os elementos congruentes devem aparecer em uma ordem adequada para que os lados fiquem na mesma posio relativa. 

Uso da congruncia de tringulos 

  Esta propriedade voc sabe que  verdadeira: todo nmero terminado em 5  divisvel por 5. A afirmao recproca  a seguinte: todo nmero divisvel por 5 termina em 5. Essa recproca  falsa, porque, por exemplo, 10  divisvel por 5 e no termina em 5. Quando uma propriedade  verdadeira, nem sempre a recproca  verdadeira. 
  Veja agora esta propriedade: todo tringulo issceles tem dois ngulos congruentes. A recproca  esta: todo tringulo com dois ngulos congruentes  issceles. Ser que ela  verdadeira? 
  A resposta  sim, mas, para ter certeza,  preciso demonstrar a propriedade. Veja a demonstrao: 
  Considere um tringulo com dois ngulos de medidas iguais. 
<P>

<F->
         B
          '
         l
         l 
         l     
         l              
         l         
         l                 
    :x  l  :x                     
  -------v-------u   
 M      A      U 
<F+>

  Trace a bissetriz do terceiro ngulo. Formam-se os tringulos {b{u{a e {b{a{m _`[no adaptados_`].
  Observe que esses tringulos tm trs ngulos respectivamente congruentes. (Alm dos ngulos medindo x e y, temos :?{b{a{u*==
 ==:?{b{a{m*, porque ambos medem 180}-x-y.) Como, alm disso, o lado {a{b  comum aos dois tringulos, percebemos que tringulo {b{a{u==tringulo {b{a{m pelo caso ALA. 
<P>
  Demonstramos ento que: 
  Todo tringulo com dois ngulos congruentes  issceles. 

<153>
Atividades

<R+>
20. Examine os tringulos. 

_`[{cinco tringulos_`]

  tringulo {a{b{c
  ^c?{a{b*=3
  ^c?{a{c*=4
  :A=60}
  tringulo {i{j{k
  ^c?{j{k*=3
  ^c?{i{j*=4
  :J=100}
  tringulo {f{g{h
  ^c?{f{g*=4
  ^c?{g{h*=3
  ^c?{f{h*=5
  tringulo {l{m{n
  ^c?{l{m*=4
  ^c?{l{n*=3
  :L=60}
<P>
  tringulo {c{d{e
  ^c?{c{d*=5
  ^c?{d{e*=3
  ^c?{e{c*=4

  De acordo com os casos de congruncia de tringulos que voc aprendeu, quais desses so congruentes com certeza?
 21. No quadrado {a{b{c{d marcamos os tringulos {p{b{q e {s{d{r, de acordo com as indicaes da figura _`[no adaptada_`]. Os dois tringulos, {p{b{q e {s{d{r, parecem congruentes. H um caso de congruncia de tringulos que nos d certeza de que tringulo {p{b{q==tringulo {s{d{r. Qual  esse caso? Explique sua resposta. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
22. Observe as duas cercas. 

_`[{duas cercas: a da esquerda tem estrutura em forma de quadriltero e a da direita, triangular_`]

  Qual das duas  mais firme, isto , tem menos chance de entortar? Explique sua resposta.

23. Considere o paralelogramo da figura, no qual destacamos tringulo {a{b{d e tringulo {a{c{d: 

_`[{trs figuras no adaptadas_`] 

a) Nos tringulos destacados, quais so os elementos (ngulos ou lados) congruentes? 
 b) Os dois tringulos so congruentes? Por qu?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

24. Considere as afirmaes a seguir e suas recprocas. 
  I. Todo mltiplo de 9  mltiplo de 3. 
  II. Recproca: Todo mltiplo de 3  mltiplo de 9. 
  III. Todo tringulo issceles tem dois ngulos congruentes. 
  IV. Recproca: Todo tringulo com dois ngulos congruentes  issceles. 
 a) A afirmao II  verdadeira? Sua recproca  verdadeira? 
 b) A afirmao III  verdadeira? Sua recproca  verdadeira? 

<154>
Pensando em casa

25. Em cada situao, temos dois tringulos congruentes. Aps a figura h um texto justificando a congruncia. Copie-o e substitua ... pela palavra correta. 
<P>
 a) _`[{tringulos descritos a seguir_`] 
  tringulo {a{b{c
  :?{b{a{c*=20}
  :?{a{b{c*=100}
  tringulo {a{b{d
  :?{b{a{d*=20}
  :?{a{b{d*=100}

  tringulo {a{c{d==tringulo {a{d{b pelo caso ''' porque:
  ngulo '''==ngulo '''
  lado '''==lado '''
  ngulo '''==ngulo '''
 b) _`[{tringulos descritos a seguir_`]
  tringulo {x{y{z
  ^c?{x{z*=8 cm
  ^c?{y{z*=5 cm
  :{z=60}
  tringulo {e{f{g
  ^c?{e{g*=8 cm
  ^c?{f{g*=5 cm
  :{g=60}

  tringulo {x{y{z==tringulo {e{f{g pelo caso ''' porque:
  lado '''==lado '''
  ngulo '''==ngulo '''
  lado '''==lado '''

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

26. Vamos fazer quatro afirmaes sobre os tringulos da figura. Quais so verdadeiras? 
 
_`[{dois tringulos descritos a seguir_`]

  tringulo {a{b{c
  :{a=95}
  :{b=x
  :{c=30}
  tringulo {x{y{z
  :{x=95}
  :{y=y
  :{z=30}

a) x=y 
 b) tringulo {a{b{c==tringulo {x{y{z 
<P>
 c) Se ^c?{a{b*==^c?{x{y*, ento tringulo {a{b{c==tringulo {x{y{z. 
 d) Se ^c?{c{b*==^c?{x{z*, ento tringulo {a{b{c==tringulo {x{y{z.

27. O quadriltero da figura, como voc j sabe, chama-se pipa. Ele tem dois pares de lados congruentes: ^c?{a{b*==^c?{a{d* e ^c?{c{b*==^c?{c{d*. 

<F->
            B
            ^e 
          ^ ~ e
        ^   ~  e     
      ^     ~   e  
   A       ~    oC
      ^     ~   i   
        ^   ~  i       
          ^ ~ i
            ^i
            D
<F+>

a) Os tringulos {a{b{c e {a{d{c so congruentes. Qual  o caso de congruncia? 
 b)  correto concluir que a semirreta :,?{a{c*  bissetriz de :A? Por qu?

28. Na pipa do exerccio anterior, sabendo que :,?{a{c*  bissetriz, pode-se ter certeza de que ^c?{a{c* e ^c?{b{d* so perpendiculares. Por qu?
 29. Demonstre o seguinte teorema: Em todo retngulo as diagonais so congruentes. Considere o retngulo {c{i{d{a. Voc deve provar que ^c?{c{d*==^c?{i{a*.
 
<F->
   C     I
    !::::::
    l    _
    l    _
    l    _
    l    _
    l    _
    l    _
    h::::::j 
   A     D
<F+>
<P>
  Na demonstrao, use os tringulos {a{d{c e {d{i{a. Um dos tringulos est sobre o outro, mas imagine-os separadamente. 

<F->
  C                 I  
   _                l
   _                l
   _                l
   _                l
   _                l
   _-----u      -----l 
  A    D     A    D
<F+>

<155>
Desafios e surpresas

1. Quando uma bola de bilhar chega  lateral da mesa formando um ngulo de medida x, ela bate e se afasta formando novamente um ngulo de medida x. 

<F->
   -----------
   :x  :x
         
         
          
<F+>

  Imagine uma mesa, do tipo de bilhar, com caapas nos vrtices A, B, C e D. Uma bola  lanada junto  caapa A, formando 45 com o lado ^c?{a{d*. Suponha que a bola s para quando cai em alguma caapa. Descubra em que caapa ela cair. Represente, num desenho, o trajeto da bola. 

<F->
  B                          C
   $:::::::::::::::::::::::::::
   _                           _   
   _   ^                      _
   _ ^ 45}                   _
   _--------------------------# 
  A                          D
<F+>

  {a{b=2 unidades 
  {b{c=8 unidades
<P>
_`[{para as atividades 2 e 3, pea orientao ao professor_`]
 
2. Considere a mesma situao do problema anterior, mas agora o comprimento da mesa  outro. 

<F->
  B             C
   $::::::::::::::
   _              _   
   _   ^         _
   _ ^ 45}      _
   _-------------# 
  A             D
<F+>

  {a{b=2 unidades 
  {b{c=3 unidades 
 a) Em que caapa cair a bola? 
 b) Quantas vezes a bola tocar nas laterais da mesa antes de cair na caapa? Represente, num desenho, o trajeto da bola. 

3. Na figura _`[no adaptada_`], o tringulo {a{b{c  equiltero. Os segmentos ^c?{r{s*, ^c?{s{t* e ^c?{t{r* so respectivamente perpendiculares a ^c?{a{b*, ^c?{b{c* e ^c?{a{c*. Demonstre que {r{s{t tambm  um tringulo equiltero. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<156>
3- Quadrilteros: definies e 
  classificaes 

  Voc sabe o que so quadrilteros e conhece os quadrilteros mais importantes no dia a dia. So os que servem de modelos para terrenos, ladrilhos, peas de mquinas etc. Vamos defini-los e classific-los. Isso vai organizar seu conhecimento sobre eles. 
  Como j foi informado antes, vamos nos limitar aos quadrilteros convexos. 

As definies 

  Trapzio  todo quadriltero que tem apenas dois lados paralelos. 

<F->
     W        Z
      cccccccccc
                 ^
                   ^
                     ^
                       ^
 ^ccccccccccccccccccccccccc 
X                       Y
<F+>

<R+>
^c?{x{y*_l^c?{z{w*, mas ^c?{y{z* no  paralelo a ^c?{x{w*. 
<R->

  Costuma-se dizer que os lados paralelos do trapzio so suas bases (base menor e base maior). 
  Paralelogramo  todo quadriltero que tem lados opostos paralelos. 

<F->
   A     B     
    cccccm
        
       
 ^cccccc
D    C 
<F+>

<R+>
^c?{a{b*_l^c?{c{d* e ^c?{b{c*_l^c?{a{d*
<R->
<P>
  Voc j sabe que os lados paralelos de um paralelogramo so congruentes: na figura, temos ^c?{a{b*==^c?{c{d* e ^c?{b{c*==^c?{a{d*. Tambm j provamos que os ngulos opostos do paralelogramo so congruentes 
 (atividade 36 do captulo 6). 
  Retngulo  todo paralelogramo com ngulos internos retos. 

<F->
A              B
 !:::::::::::!::
 l_-_         l_-_
 r::j         h::w     
 l               _
 l               _
 r::         !::w
 l_-_         l_-_
 h::j:::::::::h::j
D              C 
<F+>

<157>
  Losango  todo paralelogramo que tem os quatro lados congruentes. 
<P>
<F->
       B
       *a?           
     *a   ^?                                          
   *a       ^?                           
A           oC
   ^?       *a   
     ^?   *a                   
       ^*a                            
       D
<F+>

<R+>
^c?{a{b*==^c?{b{c*==^c?{c{d*==
  ==^c?{a{d*
<R->

  Quadrado  todo paralelogramo que tem os quatro lados congruentes e os quatro ngulos retos. Ou seja, quadrado  um paralelogramo que  retngulo e losango. 

Uma classificao 

  As definies apresentadas levam em conta paralelismo de lados, existncia de ngulos retos e de lados congruentes. Com essas definies os quadrilteros podem ser imaginados formando os seguintes conjuntos: 
<P>
Legenda:
  A: Quadrilteros
  B: Trapzios
  C: Paralelogramos
  D: Retngulos
  E: Losangos
  F: Quadrados

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::
lA                              _
l  !:::  !:::::::::::::::::::  _
l  lB _  lC                 _  _
l  l   _  l  !:::::::::      _  _
l  l   _  l  l D      _      _  _
l  l   _  l  l         _      _  _
l  l   _  l  l     !:::w:::  _  _
l  l   _  l  l     lF _   _  _  _
l  l   _  l  h:::::r:::j   _  _  _
l  l   _  l        l    E _  _  _
l  l   _  l        l       _  _  _
l  l   _  l        h:::::::j  _  _
l  l   _  l                   _  _
l  h:::j  h:::::::::::::::::::j  _
l                                _
h::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>
<P> 
  Trapzio e paralelogramos pertencem a conjuntos distintos; retngulos, losangos e quadrados fazem parte dos paralelogramos; os quadrados so retngulos e losangos. 

<158>
Quadrilteros e eixos de 
  simetria: outra classificao 

  Podemos classificar os quadrilteros de outra maneira, pensando em seus eixos de simetria, ou seja, em sua simetria axial. 
  Primeiro, consideremos os quadrilteros que tm apenas um eixo de simetria. Temos dois 
 casos. 
<P>

<F->
       B
       ^    
         ^  
           ^        
             ^     
:::::::::::::::o:::
 A          ^ C   
           ^         
         ^
       ^    
       D 
<F+>

  Nesse quadriltero h dois pares de lados consecutivos congruentes: ^c?{a{b*==^c?{a{d* e ^c?{b{c*==^c?{d{c*. Seu nome  pipa, porque se parece com uma pipa ou papagaio. 
<P>
<F->
           l
     X    l     Y
      *::::r:::::? 
          l_-_    
          r::j     
          l         
          l          
 j:::::::::r:::::::::::h
W         l          Z
           l 
<F+>

  Esse quadriltero  um trapzio issceles: tem os lados no paralelos de mesma medida, ou seja, {x{w=={y{z. 
  Um eixo de simetria precisa ser mediatriz de dois lados (como no trapzio issceles) ou diagonal do quadriltero (como na pipa). 
  Vejamos agora os quadrilteros com dois eixos de simetria: os retngulos e os losangos. 
<P>

<F->
       l
 !:::::r:::::
 l     l     _
 l     l     _
:r:::::r:::::w:  
 l     l     _
 l     l     _
 h:::::r:::::j
       l

         l
        *b?           
      *a l ^?                                          
    *a   l   ^?                           
  *a     l     ^?
::::::::r:::::::o:
  ^?     l     *a
    ^?   l   *a    
      ^? l *a                   
        ^*a                            
         l
<F+>

<159>
  Como no h quadriltero com trs eixos de simetria, vamos ao ltimo caso: os quadrilteros com 
<P>
quatro eixos de simetria: os quadrados. 
  Assim, em relao a eixos de simetria, temos quadrilteros de quatro categorias: com zero eixo, 1 eixo, 2 eixos e 4 eixos. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Atividades

<R+>
30. O permetro do paralelogramo da figura  60 mm. Calcule a medida de seus lados. 

<F->
      ccccccccccccccm
   x               
                  
                 
  --------------
        2x    
<F+>

31. Para resolver o exerccio anterior, voc usou uma propriedade dos paralelogramos. Enuncie essa propriedade.
<P>
32. Informe qual das possibilidades  correta: 
 a) Todo quadrado  retngulo ou todo retngulo  quadrado? 
 b) Todo losango  retngulo ou todo retngulo  losango? 
 c) Todo paralelogramo  losango ou todo losango  paralelogramo? 
 d) Nenhum trapzio  paralelogramo ou alguns trapzios so paralelogramos?

33. {p{q{r{s  um quadriltero chamado pipa. 
 a) Que tipo de tringulo  o tringulo {p{q{s? 
 b) Se :P mede 40} e :R mede 80}, quanto medem os ngulos :Q e :S? 

34. Em um trapzio issceles, um dos ngulos da base maior mede 50. Quanto medem os demais ngulos internos desse trapzio? 

<160>
<P>
Pensando em casa 

35. Considere o trapzio da figura _`[no adaptada_`]:
 a) O trapzio  issceles?  
 b) De que tipo  o quadriltero {a{b{h2H1? 
 c) Qual  o permetro do quadriltero {a{b{h2H1?
 d) Qual  o permetro do tringulo {b{c{h2?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

36. Na figura, {a{b{c{d  trapzio issceles e {x{y  eixo de simetria. 

<F->
       D     lx   C
        cccccpccccc 
             l      
             l       
             l        
    ---------v---------u
   A         ly       B
<F+>

a) O que se pode afirmar dos ngulos :A e :B? 
 b) O que se pode afirmar dos segmentos ^c?{c{y* e ^c?{y{d*?

37. Identifique as sentenas verdadeiras. 
 a) Existem losangos que no so paralelogramos.  
 b) Nem todo quadrado  losango.
 c) Alguns losangos so quadrados.
 d) Nenhum paralelogramo  trapzio.

38. Observe a situao:

<F->
       A    B
        _cccccm
       _    _
       _    _
       _    _
       _    _
   ----#----# 
  E   D    C
<F+>
<P>
  Sabendo que {a{b{d{e e {a{b{c{d so paralelogramos, prove que ^c?{e{c* mede o dobro de ^c?{a{b*.
 39. A figura  formada por trs tringulos equilteros. Prove que {d{a{c{e  trapzio. 
<R->

<F->
        D         A
         ccccccccm
                  
                   
                    
     --------u--------u 
    E        B       C 
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<161>
4- Propriedades dos 
  paralelogramos 

Diagonais que se cortam ao meio 

  Voc j sabe que os paralelogramos tm os lados paralelos congruentes e os ngulos opostos congruentes. Tambm j deve ter notado que as diagonais de um paralelogramo tm comprimentos diferentes. Entretanto, as diagonais tm uma propriedade que no  fcil de perceber pela simples observao: Em todo paralelogramo as diagonais cortam-se ao meio. 
  Como esse fato no  to evidente, deve ser demonstrado, o que  feito a seguir. 
  No paralelogramo {t{i{n{a, 
 devemos mostrar que ^c?{t{m*==
 ==^c?{m{n* e que ^c?{i{m*==
 ==^c?{m{a*. Destacamos os tringulos {t{m{i e {a{m{n. 

_`[{paralelogramo no adaptado_`]
 Legenda: ^c?{t{m*==^c?{m{n*
  ^c?{i{m*==^c?{m{n*.

  Nesses tringulos, h ngulos opostos pelo vrtice e alternos internos como se v na ilustrao _`[no adaptada_`]. Alm disso, ^c?{t{i*==^c?{n{a*. Portanto, os tringulos so congruentes (caso ALA ou LAAo). 
  Imaginando os tringulos sobrepostos, com os vrtices coincidindo, conclui-se que ^c?{t{m*==
 ==^c?{m{n* e que ^c?{i{m*==
 ==^c?{m{a*.
  Note que essa propriedade do paralelogramo  "herdada" por retngulos, losangos e quadrados, que so casos especiais de paralelogramos. 

Diagonais congruentes e diagonais 
  perpendiculares 

  A seguinte propriedade j foi demonstrada na atividade 29 deste captulo: 

  Em todo retngulo, as diagonais so congruentes. 

  Temos duas novas propriedades para os losangos: 

  Em todo losango, as diagonais determinam as bissetrizes dos ngulos internos e so perpendiculares. 

  Para demonstrar esses fatos, lembramos que as diagonais determinam os dois eixos de simetria do losango. Considere, ento, {j{o{s{e, que  um losango qualquer. 

<162>
<F->
           J                   
           *b?           
         *a l ^?                                          
       *a   l   ^?
     *a     r::  ^?                           
   *a       l_-_    ^?
E:::::::::r::j::::::oO
   ^?       lM     *a
     ^?     l     *a    
       ^?   l   *a                   
         ^? l *a
           ^*a                            
           S 
<F+>

  Como a reta ~:,?{o{e*  eixo de simetria, necessariamente divide os ngulos :O e :E ao meio; portanto, as semirretas :,?{o{e* e :,?{e{o* so bissetrizes. 
  Na simetria de eixo ~:,?{o{e*, o ponto J  simtrico do ponto S. Portanto, ~:,?{o{e*  mediatriz do segmento ^c?{j{s* e as diagonais so perpendiculares.

Atividades 

<R+>
40. Quais destas afirmaes podem ser feitas para qualquer paralelogramo? 
 a) ^c?{a{d*==^c?{b{c*  
 b) ^c?{a{d*==^c?{a{b*  
 c) ^c?{a{c*==^c?{b{d*
 d) ^c?{a{m*==^c?{m{c*

<F->
   A          B  
    qcccccccccc
    l^      ^ _  
    l  ^M^   _            
    l    o     _            
    l  ^  ^   _
    l^      ^ _
    ----------#   
   D          C
<F+>
<P>
41. Neste paralelogramo _`[no adaptado_`], traamos as diagonais. 
  Encontre o permetro dos seguintes tringulos formados: 
 a) tringulo {b{m{c 
 b) tringulo {a{b{c 
 c) tringulo {m{d{c

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

42. Os segmentos ^c?{a{c* e ^c?{b{d* so perpendiculares e se cortam no ponto mdio de ambos. Unindo os pontos A, B, C, D e A, nessa ordem, tem-se um quadriltero. Esse quadriltero: 
 a)  losango? 
 b)  retngulo? 
 c)  quadrado?

43. Responda: 
 a) Existem losangos cujas diagonais tenham tamanhos diferentes? 
 b) Existem losangos cujas diagonais sejam congruentes? 
 c) Existem losangos em que o ngulo formado pelas diagonais seja 60?

44. Em um retngulo {a{b{c{d traam-se as diagonais que se cortam em M. O ngulo :?{a{m{d* mede 40}. Determine as medidas dos ngulos internos dos tringulos {a{m{d e {a{m{b.

45. Considere o seguinte 
  teorema: 
  Em todo retngulo, os pontos mdios dos lados determinam um losango. 
  Respondendo s questes a seguir, voc ver por que o teorema  verdadeiro. 
  Considere a figura: M, N, P e Q so pontos mdios dos lados do retngulo {a{b{c{d. Vejamos por que {m{n{p{q  um losango. 

_`[{figura: losango {m{n{p{q inscrito no retngulo {a{b{c{d_`]
<P> 
a) Voc sabe que ~:,?{m{p*  eixo de simetria do retngulo. 
  Imagine o retngulo dobrado sobre si mesmo nesse eixo de simetria. O que se pode afirmar sobre ^c?{m{n* e ^c?{m{q*? E sobre ^c?{p{n* e ^c?{p{q*? 
 b) Voc tambm sabe que ~:,?{n{q*  eixo de simetria do retngulo. O que se pode afirmar sobre ^c?{m{n* e ^c?{p{n*? E sobre ^c?{m{q* e ^c?{p{q*? 
 c) Por que, ento, {m{n{p{q  losango? 

<163>
Pensando em casa

46. Todo quadrado tem diagonais perpendiculares. A recproca dessa afirmao  esta: todo quadriltero com diagonais perpendiculares  quadrado. A afirmao inicial  verdadeira? E a recproca? Justifique.
<P>
47. Responda: 
 a) As diagonais de qualquer paralelogramo cortam-se em seus pontos mdios? 
 b) As diagonais de qualquer paralelogramo so congruentes? 
 c) As diagonais de qualquer losango so congruentes? 
 d) As diagonais de qualquer retngulo cortam-se em seus pontos mdios?

48. Considere o losango {a{b{c{d, em que o ngulo :A mede 52 e cujas diagonais se cortam em M. 
 a) Quanto medem os ngulos internos do tringulo {a{d{c? 
 b) Quanto medem os ngulos do tringulo {d{m{c?

_`[{para as atividades 40, 50 e 51, pea orientao ao professor_`]

49. Em um paralelogramo {a{b{c{d, as diagonais se cortam em M e medem 8 cm e 12 cm, respectivamente. Sabendo que {a{b mede 7 cm e {c{d mede 10 cm, faa a figura e determine: 
 a) o comprimento da mediana de vrtice A do tringulo {a{b{d; 
 b) o permetro do tringulo {a{m{d.

50. Em um paralelogramo {w{x{y{z, a diagonal {y{w divide ao meio os ngulos :Y e :W. Prove que esse paralelogramo  um losango.
 51. Observe os quadrilteros 
  _`[no adaptados_`]. Em todos eles, foram assinalados os pontos mdios dos lados e esses pontos foram ligados, formando outro quadriltero. 
  H um teorema da geometria com este enunciado: 
  Os pontos mdios dos lados de qualquer quadriltero determinam um ... 
  Examinando os exemplos dados, copie e complete o enunciado do teorema, colocando o nome do quadriltero determinado pelos pontos mdios.

52. Considere dois segmentos que se cortam nos respectivos pontos mdios. Veja a figura correspondente a esta situao: 

<F->
   x           z
   o         o
    ^      ^
      ^M^          
        o 
      ^ ^
    ^     ^
   o        o
   w          y 
<F+>
 
  Agora, leia atentamente e, depois, responda o que se pede. 
  (1) Vamos destacar os tringulos {x{m{w e {y{m{z. 
<P>

<F->
   x          z
   o        o
   ~^      ^,
   ~  ^M^  ,        
   ~    o    ,
   ~  ^ ^   ,
   ~^     ^ ,
   o        o
   w          y
<F+>

  (2) Na situao da figura anterior, tringulo {x{m{w==tringulo {y{m{z. 
  (3) Devido  congruncia dos tringulos, temos :X==:Y. Como esses ngulos so alternos internos podemos concluir que ^c?{x{w*  paralelo a ^c?{y{z*. 
  (4) Destacando os tringulos {x{m{z e {y{m{w, podemos provar tambm o paralelismo dos segmentos ^c?{x{z* e ^c?{y{w*. 
 a) O raciocnio anterior se baseia na congruncia dos tringulos {x{m{w e {y{m{z. Qual  o caso de congruncia? 
 b) O raciocnio anterior prova um teorema. Copie e complete o enunciado do teorema: todo quadriltero cujas diagonais se cortam ao meio  um ...
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<164> 
5- Circunferncia 

  Veja alguns elementos da circunferncia: 

<R+>
_`[{trs circunferncias com elementos diferentes_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
 Raio  qualquer segmento que una o centro a qualquer ponto da circunferncia. 
  Corda  qualquer segmento que una dois pontos distintos da circunferncia. 
<P>
  Dimetro  qualquer segmento que una dois pontos distintos da circunferncia, passando pelo centro. 
<R->
  O dimetro , portanto, uma corda que passa pelo centro da circunferncia. Na verdade, o dimetro  a corda da circunferncia com o maior comprimento possvel. O dimetro mede o dobro do raio. 

Comprimento da circunferncia 

  Outro importante elemento da circunferncia  o seu comprimento. Ao estudarmos os nmeros irracionais, vimos que, se fosse possvel ajustar um barbante na circunferncia e, depois, cortar, esticar e medir o comprimento exato do barbante, teramos o comprimento da circunferncia. 
  Em qualquer circunferncia, dividindo-se o comprimento pelo dimetro, obtm-se o nmero irracional ^p: comprimentodimetro=^p; ^p=3,141592... 
<165>
  Indicando o comprimento da circunferncia por C, seu dimetro por *d*, e seu raio por *r*, temos: Cd=^p; portanto, C=^p'd; ou, ainda, C=2^pr.
 
<R+>
_`[{tirinha "Mafalda", em quatro quadrinhos, descrita a seguir_`]

  A menina Mafalda, com um barbante, mede a circunferncia de sua cabea. Depois de observar atentamente o barbante com a medida obtida, ela fala: "Ser que aqui cabe *tudo* o que vo me meter na cabea?"

Atividades 

_`[{para as atividades de 53 a 58, pea orientao ao professor_`]

53. Examine a figura _`[no adaptada_`] e diga o que os segmentos so da circunferncia: 
<P>
 a) ^c?{o{a*
 b) ^c?{a{b*
 c) ^c?{o{c*
 d) ^c?{a{c*

54. Explique por que os ngulos :A e :B so congruentes. (O centro da circunferncia  o ponto O.) 

_`[{figura no adaptada_`]
 
55. Quanto medem os dois ngulos do tringulo {o{a{b que no so dados na figura _`[no adaptada_`]? (O  o centro da circunferncia.) 
 56. Calcule a medida de :?{a{o{b*. (O  o centro 
  da circunferncia) _`[no adaptada_`].
<166>
 57. Nesta figura _`[no adaptada_`], O  o centro da circunferncia, :?{a{o{b*=80 e 
  :?{a{b{c*=75. Calcule a medida de :?{c{a{b* e :?{b{c{a*. 
<P>
 58. Com certa unidade *u*, medimos o dimetro de uma circunferncia _`[no adaptada_`]. Com a mesma unidade, medimos o comprimento da circunferncia. Mas isso no  possvel, e a medida foi aproximada. 
  Dividindo o comprimento da circunferncia pela medida do dimetro, voc obter um valor aproximado para ^p. Faa isso, dando sua resposta com duas casas decimais.

59. Na frmula C=2^pr, C  o comprimento da circunferncia, r  a medida do raio e ^p pode ser aproximado para 3,14. Usando essa frmula, d a medida aproximada: 
 a) do comprimento da circunferncia que tem 7 cm de raio; 
 b) do raio da circunferncia que tem 25,12 cm de comprimento.

60. Vamos considerar que a 
  Terra seja uma esfera. O equador  uma circunferncia imaginria que divide a Terra em duas partes do mesmo tamanho: o Hemisfrio Norte e o Hemisfrio Sul. O raio do equador  tambm o raio da Terra. Sabendo que o equador tem um comprimento aproximado de 40.000 km, determine o comprimento do raio da Terra.

Pensando em casa

61. Um CD tem a forma de um crculo com raio de 6 cm. Mas as capas para CD so quadradas. Qual  a menor medida possvel para o lado desses quadrados?
 62. Calcule *x*. (O  o centro da circunferncia) _`[no adaptada_`].

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
63. Calcule o comprimento aproximado de uma circunferncia que tem raio de: 
 a) 2,5 cm 
 b) 5 cm 
 c) 1 cm 
 d) 7 cm

64. Um automvel percorreu 471 metros. Nesse percurso, cada roda do automvel deu 250 voltas. Calcule a medida do raio das rodas. (Use ^p=3,14.) 

<167>
_`[{para as atividades 65 e 66, pea orientao ao professor_`]

65. Considere esta circunferncia _`[no adaptada_`] de centro O. Prove que as cordas ^c?{a{b* e ^c?{c{d* so congruentes. 
 66. Nesta circunferncia _`[no adaptada_`] de centro O, as cordas ^c?{a{b* e ^c?{c{d* so congruentes. Demonstre que :?{a{o{b*==:?{c{o{d*. 

Desafios e surpresas

4. Primeiro coloque o ngulo de 90 do seu esquadro sobre os ngulos :P, :Q, :R, :S e :T e verifique que todos eles medem 90. Depois, demonstre que, para qualquer ponto X da circunferncia (exceto A e B), tem-se: :?{a{x{b*=90. 

_`[{duas figuras no adaptadas_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

_`[{um homem diz: "Tringulos formados por dois raios de uma circunferncia so issceles! Essa  a dica para o desafio a de cima!"_`]
<R->
 
               ::::::::::::::::::::::::

<168>
<P>
6- ngulos centrais 

ngulos centrais e cordas 

  ngulo central  qualquer ngulo com vrtice no centro de uma circunferncia. 

<R+>
_`[{duas figuras seguidas de 
  legendas_`]
 Legenda 1: O ngulo assinalado, :?{a{o{b*,  ngulo central convexo. 
 Legenda 2: Nesta figura, o ngulo central :?{a{o{b* no  convexo. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  A partir daqui, vamos trabalhar apenas com ngulos centrais convexos, salvo quando houver aviso indicando o contrrio. 
  H uma propriedade envolvendo ngulos centrais e as cordas por eles determinadas. 
<P>
  Numa mesma circunferncia, ngulos centrais congruentes determinam cordas congruentes e vice-versa. 

Demonstrao 

<R+>
 Na circunferncia _`[no adaptada_`] de centro O, considere :?{a{o{b*==:?{c{o{d*. 
  Os tringulos {a{o{b e {c{o{d so congruentes, pelo caso LAL. Ento: ^c?{a{b*==
  ==^c?{c{d*.
  Demonstramos, assim, que as cordas so congruentes. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<169>
 Para demonstrar o teorema recproco, considere agora que ^c?{a{b*==^c?{c{d*.

_`[{figura no adaptada_`]
 
  Os tringulos {a{o{b e {c{o{d so congruentes, pelo caso LLL. Ento: :?{a{o{b*==:?{c{o{d*.
  Demonstramos, assim, que os ngulos centrais so congruentes. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Construo de polgonos regulares 

  A construo de um polgono regular de *n* lados baseia-se na construo de uma circunferncia e na diviso, em *n* partes iguais, do ngulo central de 360. 
  Os tringulos formados so todos congruentes, pelo caso LAL. Como eles so tringulos issceles, vamos indicar por *x* a medida dos ngulos das suas bases. 
<P>
<R+>
_`[{duas figuras seguidas de 
  legendas_`]
 Legenda 1: O ngulo central de 360 divide-se em *n* partes iguais. 
 Legenda 2: Todos os lados do polgono so congruentes. Todos os ngulos internos do polgono medem 2x; logo, so congruentes.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Forma-se, portanto, um polgono regular de *n* lados. 
  Nessa construo, dizemos que o polgono regular est *inscrito* numa circunferncia. 

<170>
ngulos centrais e arcos 

  Quando traamos um ngulo central, h sempre uma parte da circunferncia _`[no adaptada_`] que fica contida no ngulo. Essa parte  um arco de circunferncia. 
  O arco contido em :?{a{o{b*  indicado por ^:?{a{b*. 
  ^:?{a{b*  o arco determinado por :?{a{o{b*. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  A medida de um ngulo central est relacionada com o comprimento do arco que ele determina. 

_`[{trs figuras no adaptadas_`]

  Quando a medida do ngulo central duplica, o comprimento do arco correspondente tambm duplica. Quando a medida do ngulo central triplica, o comprimento do arco correspondente tambm triplica. Assim, percebemos que a medida do 
<P>
ngulo  diretamente proporcional ao comprimento do arco. 

Exemplo 

  Nesta circunferncia _`[no adaptada_`] de 2 cm de raio, vamos encontrar a medida *x*. 
  O ngulo central mede 30. 
  O arco correspondente ^:?{a{b* tem *x* cm de comprimento. 
  Observe que ao ngulo central de 360 corresponde a circunferncia inteira, de comprimento 2^pr. Vamos ento obter *x* por meio de uma regra de trs: 

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::
l ng. central _ comp. do arco  _ 
l (graus)    _ correspondente _
l              _ (cm)         _  
r::::::::::::::w::::::::::::::::w
l 360         _ 2^pr=2"^p"   _
l              _ "2=4^p       _
r::::::::::::::w::::::::::::::::w
l 30          _ x              _
h::::::::::::::j::::::::::::::::j
<F+>

<171>
  Podemos montar a seguinte proporo: 36030=4^px ou 36030=121=4^px. Logo, x=4^p12=1^p3. Portanto, x=^p3.
  Ento, o arco ^:?{a{b* tem ^p3 cm de comprimento. ^p3^=3,143^=1,05.
  O arco ^:?{a{b* tem, aproximadamente, 1,05 cm de comprimento.
 
Atividades 

<R+>
_`[{para as atividades de 67 a 72, pea orientao ao professor_`]

67. Pode-se construir um polgono regular inscrito nessa circunferncia _`[no adaptada_`], com lados congruentes a ^c?{a{b*. Quantos lados tem esse polgono regular? (O  o centro da circunferncia.) 
<P>
68. Na figura _`[no adaptada_`], tem-se um hexgono regular inscrito numa circunferncia de centro O. 
 a) Mostre que o tringulo {o{a{b  equiltero. 
 b) Explique por que o lado do hexgono regular  congruente ao raio da circunferncia. 

69. Vamos indicar por ^c?{a{b* um dos lados de um decgono regular, inscrito numa circunferncia de centro O. Calcule a medida dos ngulos: 
 a) :?{a{o{b*
 b) :?{o{a{b*
 c) :?{o{b{a*

70. Na figura _`[no adaptada_`], a circunferncia tem 2 cm de raio. Quantos centmetros de comprimento tem o arco ^:?{a{b*, determinado pelo ngulo central de 45? 
  D uma resposta aproximada at a segunda casa decimal. 
 71. Nesta circunferncia _`[no adaptada_`] de centro O, o raio mede 2,5 cm e o arco ^:?{p{q* tem 4,4 cm de comprimento. Encontre a medida aproximada de :?{p{o{q*.
 72. Na figura _`[no adaptada_`], o arco ^:?{a{b* tem 5,5 cm de comprimento e o ngulo central :?{a{o{b* mede 100. Quanto mede o raio da circunferncia? D a resposta aproximada at a segunda casa decimal.

<172>
Pensando em casa

_`[{para as atividades de 73 a 76, pea orientao ao professor_`]
 
73. Construa um hexgono regular inscrito na circunferncia _`[no adaptada_`]. Mantendo sempre o compasso com uma abertura de 2,5 cm, d os seguintes passos e, depois, complete o hexgono. 
<P> 
74. A estrela de seis pontas  um smbolo famoso. Aparece, por exemplo, na bandeira de Israel. 
 a) Construa um hexgono regular, inscrito numa circunferncia com 3 cm de raio. 
 b) Prolongando os lados do hexgono, obtenha a estrela de seis pontas.

75. Construa um octgono regular inscrito numa circunferncia com 3 cm de raio.
 76. Usando um transferidor, construa um pentgono regular inscrito numa circunferncia com 2,5 cm de raio.
 77. Em uma circunferncia um ngulo central reto determina um arco de aproximadamente 12,56 cm. Qual  a medida do raio dessa circunferncia?
 78. Quantos centmetros de comprimento tem o arco ^:?{a{b*, determinado por um ngulo central de 300, numa circunfern-
<P>
  cia com 10 cm de raio? D a resposta aproximada at a segunda casa decimal.

79. Os conhecimentos de geometria podem ser teis para construir grficos estatsticos. Observe o grfico a seguir, que resultou de uma pesquisa de 
  opinio: 

_`[{grfico adaptado_`]

  Crculo dividido em quatro 
  partes (setores) com cores 
  e tamanhos diferentes:
  azul: 38%
  verde: 24%
  amarelo: 21%
  laranja: 17%

 a) Escreva cada porcentagem na forma de nmero decimal. 
<P>
 b) Calcule a medida do ngulo central correspondente a cada setor do grfico. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<173>
Ao sobre ngulos 

Que figura vai dar? 

  Apresentaremos duas situaes em que o aluno dever marcar certos pontos at descobrir que figura esses pontos formam. 

Situao 1 

_`[{figura no adaptada_`]

  Trace um segmento ^c?{a{b* com cerca de 5 cm. 
  Depois, encaixe o esquadro no segmento, assim: 
<P>
<R+>
_`[{o menino diz: "Os lados do ngulo reto passam por A e B. No ponto onde se encontra o vrtice do ngulo reto, marque X."_`]
<R->

  V movendo o esquadro, com os lados do ngulo reto passando sempre por A e B. Em cada encaixe do esquadro, marque o novo local de X. 
  J descobriu que figura esses pontos formam? 
  Tente traar essa figura completa usando seus instrumentos de desenho (rgua, esquadro, compasso etc.). 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<174>
Situao 2 

  Repita a operao mudando apenas o ngulo envolvido. Onde antes ia o ngulo reto, agora voc 
<P>
pode escolher: um ngulo de 30, de 45 ou de 60. 

<R+>
_`[{o menino diz: "Neste caso, :?{a{x{b* mede 30}."_`]
<R->

  Novamente, descubra que figura esses pontos formam. Depois, trace a figura completa usando seus instrumentos de desenho. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<175>
7- ngulos inscritos 

  ngulo inscrito  todo ngulo que tem vrtice na circunferncia _`[no adaptada_`] e lados secantes a ela. 
  :?{a{v{b*  um ngulo inscrito. 
  Ele determina, na circunferncia, o arco ^:?{a{b*.
<P>
  A esse ngulo inscrito corresponde um ngulo central que determina, na circunferncia _`[no adaptada_`], o mesmo arco ^:?{a{b*. 
  O ngulo inscrito e o ngulo central determinam o mesmo arco ^:?{a{b*. 
  Existe a seguinte relao entre as medidas desses ngulos: 

  Qualquer ngulo central mede o dobro do ngulo inscrito que determina o mesmo arco. 

  Para demonstrar esse teorema, vamos considerar trs casos: 
<R+>
  quando o centro O da circunferncia pertence a um dos lados do ngulo inscrito; 
  quando ele  interno ao ngulo inscrito; 
  quando ele  externo ao ngulo inscrito. 

<176>
_`[{trs figuras seguidas de 
  legendas_`]
 Legenda 1: O centro *O* pertence a um dos lados.
 Legenda 2: O centro *O*  interno ao ngulo.
 Legenda 3: O centro *O*  externo ao ngulo.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Demonstrao 

  Vamos fazer a demonstrao para o caso em que o centro pertence a um dos lados do ngulo inscrito. 

_`[{figura no adaptada_`]

  Vamos demonstrar que c=2i. 
  Observe que o tringulo {b{o{v  issceles, de base ^c?{b{v*. Portanto, os dois ngulos da base medem *i*.
  O ngulo central :c  um ngulo externo do tringulo {b{o{v. 
  Por isso, c=i+i, ou seja: c=2i. 
  Assim, demonstramos, para esse primeiro caso, que o ngulo central  o dobro do inscrito. 
  Deixamos para voc a demonstrao dos outros dois casos. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<177>
Atividades

<R+>
_`[{para as atividades de 80 a 84, pea orientao ao professor_`]

80. Na figura _`[no adaptada_`], O  o centro da circunferncia. Considerando os ngulos com os vrtices V, O e U, responda: 
 a) Quais so os ngulos inscritos na circunferncia? 
 b) Qual  o ngulo central? 
 c) Qual  o ngulo inscrito que determina o mesmo arco que o ngulo central? 

81. Calcule a medida dos ngulos assinalados _`[no adaptada_`]. (O  o centro da circun-
  ferncia.) 

_`[{figura no adaptada. A seguir, as medidas dos ngulos_`]

  ngulo inscrito: 
  :?{a{v{b*=5x
  ngulo central: 
  :?{a{o{b*=6x+36}

  Resoluo: 
  :?{a{o{b*  ngulo central de mesmo arco que o ngulo inscrito :?{a{v{b*. Por isso, temos: 
  6x+36=2'5x 
  6x+36=10x; ou seja, 10x=6x+36 
  4x=36; portanto, x=9. 
  Logo, o ngulo inscrito mede 
  5'x=5'9=45. 
  O ngulo central mede o dobro: 90.
 82. Sendo O o centro da cir-
  cunferncia _`[no adaptada_`], calcule a medida de *x*: 

<178>
83. O centro desta circun-
  ferncia _`[no adaptada_`]  o ponto O:
 a) Indique o ngulo central que determina o mesmo arco que :?{a{x{b* e :?{a{y{b*. 
 b) Qual  a medida desse ngulo central? 
 c) Qual  a medida de :?{a{x{b*?

84. Em cada figura _`[no adaptada_`] temos um ngulo central e um inscrito. Determine a medida de cada um. 

Pensando em casa 

_`[{para as atividades de 85 a 89, pea orientao ao professor_`]

85. Sendo O o centro de cada circunferncia _`[no adaptada_`], calcule o valor de *x*.

<179>
<P>
86. Diga qual  a medida: 

_`[{figura no adaptada_`]

a) do ngulo :?{d{b{c*; 
 b) de cada ngulo interno do tringulo {e{b{c; 
 c) do ngulo :?{a{e{b*. 

87. Nesta circunferncia _`[no adaptada_`], o segmento ^c?{a{b*  congruente ao raio. 
  Usando o ngulo de 30 do esquadro, verifique se :P, :Q, :R, :S, :T e :U medem todos 30. Depois, demonstre que :?{a{x{b*=30, para todo ponto X do arco maior ^:?{a{b* (sem incluir os pontos A e B).
<P>
88. Calcule o valor de *x*.

_`[{figura no adaptada. A seguir, as medidas dos ngulos_`]

  ngulo central=x
  ngulo inscrito=30}
  ngulo inscrito=30}
  ngulo inscrito=40}

89. Nesta figura _`[no adaptada_`], ^c?{a{b*  um dimetro e O  o centro da semicircunferncia. 
  Nesse caso, dizemos que o tringulo {a{b{x est inscrito na semicircunferncia. 
  Demonstre que todo tringulo inscrito numa semicircunferncia  um tringulo retngulo. 
<P>
Desafios e surpresas

5. Neste pentgono regular _`[no adaptado_`], calcule a medida do ngulo obtuso formado pelas diagonais ^c?{a{c* e ^c?{b{d*. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<180> 
8- Algumas construes 
  geomtricas no plano 

  Desenhistas profissionais fazem plantas de arquitetura, projetos de mquinas etc. 
  Para realizar essas tarefas,  preciso construir figuras geomtricas. 
<P>
Construo de um tringulo 
  conhecendo-se os lados 

  Vamos mostrar a construo de um tringulo com lados de 2 cm, 3 cm e 4 cm. Essa construo  difcil se voc usar apenas a rgua. O ideal  usar rgua e compasso. 

<R+>
_`[{quatro figuras seguidas de 
  legendas_`]
 Legenda 1: Trace o lado maior.
 Legenda 2: Com centro numa extremidade do lado, trace uma circunferncia com raio de 
  3 cm, para obter o lado de 
  3 cm.
 Legenda 3: Com centro na outra extremidade, trace uma circunferncia com 2 cm de raio, para obter o lado de 2 cm.
<P>
 Legenda 4: Ligue o ponto de interseco das circunferncias com os extremos do segmento. Pronto!
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<181>
Mediatriz de um segmento e outras
  construes 

  Se voc sabe construir um tringulo comum, tambm sabe construir um tringulo issceles e mesmo um losango. Observe: 

<R+>
_`[{quatro figuras seguidas de 
  legendas_`]
 Legenda 1: Desenhe o segmento de reta ^c?{a{b*.
 Legenda 2: Com centro em A trace um arco com abertura maior que a metade de ^c?{a{b*.
 Legenda 3: Repita a construo com centro em B.
<P>
 Legenda 4: Como voc usou o mesmo raio, ^c?{a{x*==^c?{x{b*==
  ==^c?{a{y*==^c?{b{y*.
<R->

  Repare que acima e abaixo de ^c?{a{b* voc obteve tringulos issceles: so tringulo {a{x{b e tringulo {a{y{b. Alm do mais, {a{x{b{y  um losango. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
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<F+>

  E a mediatriz? Bem, se voc quiser somente ela, basta ligar X e Y na sua construo. Como a reta ~:,?{x{y*  eixo de simetria do losango (e dos tringulos {a{x{b e {a{y{b tambm), ela tambm  mediatriz de ^c?{a{b*. 
<P>

<F->
       l
       rX 
       l
       r::
       l_-_
 w:::::r::j::r
A     l    B
       l 
       l
       rY
       l
<F+>

Construo da bissetriz de um 
  ngulo 

  Veja como se constri a 
 bissetriz: 

<R+>
_`[{trs figuras seguidas de 
  legendas_`]
 Legenda 1: Com centro em A, trace um arco de circunferncia que corte os lados do ngulo em B e C. Assim, ^c?{a{b*==
  ==^c?{a{c*.
<P>
 Legenda 2: Com centros em B e C, trace dois arcos de circunferncias com raios de mesma medida, que se cruzem em D. Assim, o ponto D  equidistante de B e C.
 Legenda 3: Ligue A com D. A semirreta :,?{a{d*  a bissetriz.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
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<F+>

<182>
  Como se pode ter certeza de que :,?{a{d*  realmente a bissetriz? Perceba que, da forma como foi construdo, o quadriltero {a{b{d{c  uma pipa ou um losango, pois ^c?{b{d*==^c?{c{d*. Por isso, :,?{a{d* est no eixo de simetria e divide o ngulo :?{b{a{c* em dois ngulos iguais.

<R+>
_`[{figura seguida de legenda_`]
 Legenda: {a{b{c{d  pipa (ou losango): ^c?{a{b*==^c?{a{c* e ^c?{b{d*==^c?{c{d*.
<R->
<P>
Outras construes 

  Com o que voc aprendeu,  possvel fazer vrias outras construes com rgua e compasso. Por exemplo: 
<R+>
  para construir um ngulo de 90, basta construir a mediatriz de um segmento; 
  para construir um ngulo de 45, basta construir a bissetriz de um ngulo de 90; 
  para construir um ngulo de 60, basta construir um tringulo equiltero. 

Atividades 

  Ateno: use rgua e compasso em todas estas atividades. Transferidor no vale!
<P>
_`[{para as atividades de 90 a 97, pea orientao ao professor_`]

90. Para treinar o uso do com-
  passo, faa um desenho parecido com este _`[no adaptado_`]:
  Modo de fazer: 
  Trace uma curva. Centre o compasso em qualquer ponto da curva, escolha uma abertura e trace a primeira circunferncia. Onde ela cortar a curva ser o centro da segunda circunferncia. E assim por diante.

91. Desenhamos estas circunferncias _`[no adaptadas_`] de centros C1 e C2: 
  Dos pontos j marcados, apresente dois que distem: 
 a) 2 cm de C1; 
 b) 1,5 cm de C2; 
 c) mais de 2 cm de C1; 
 d) 2 cm de C1 e, tambm, 1,5 cm de C2. 

<183>
<P>
92. Com rgua e compasso, construa um tringulo com lados medindo 4 cm, 5 cm e 7 cm. Depois, diga se o tringulo  retngulo, acutngulo ou obtusngulo.
 93. Com rgua e compasso, construa um tringulo equiltero com lados de 4 cm. Depois, mea cada ngulo interno do tringulo. Quanto eles medem? No incio das atividades pede-se que no se use o transferidor!
 94. Construa um tringulo issceles com lados de 4 cm e base de 2 cm. Depois, aproveitando essa base de 2 cm, construa outro tringulo issceles, congruente ao primeiro. Que tipo de quadriltero se forma?
 95. Construa um tringulo {x{y{z, no qual o ngulo de vrtice X  reto, ^c?{x{y* mede 
  4 cm e ^c?{x{z* mede 3 cm. Comece pela construo do 
<P>
  ngulo reto. No final, mea 
  o segmento ^c?{y{z*. Qual  
  a medida?
 96. Trace com rgua e compasso um ngulo de 60. Depois, aproveitando a construo anterior, faa um ngulo de 30.

97. Neste desenho rascunhado 
  _`[no adaptado_`], A e B so cidades, *e*  uma estrada sem curvas e S  um shopping 
  center que est  mesma distncia das cidades A e B.
 a) Transforme o rascunho num mapa, de modo que 1 cm corresponda a 10 km. 
 b) Com rgua e compasso, encontre o local do shopping. Lembre-se de que ele equidista de A e B, isto , est no eixo de simetria do segmento ^c?{a{b*.
 c) Mea o segmento ^c?{a{s* e responda: a quantos quilmetros de A se localiza o shopping? E a quantos quilmetros de B?
<P>
Pensando em casa

_`[{para as atividades de 98 a 106, pea orientao ao professor_`]

98. Construa a figura _`[no adaptada_`], em tamanho maior. {a{b{c{d  um quadrado com lados de 5 cm. Os centros das circunferncias so M, N, O e P, que so pontos mdios dos lados. Use o esquadro para fazer os ngulos retos do qua-
  drado. Mea atentamente para determinar os pontos mdios. 
 99. Veja o smbolo _`[no adaptado_`] que aparece na bandeira da Coreia do Sul. Ele  construdo a partir de trs circunferncias, duas das quais com o mesmo raio. Construa esse smbolo. O raio da circunferncia maior deve ter 4 cm. 
<184>
 100. Mais um pouco de exerccio no uso do compasso. Faa este desenho _`[no adaptado_`]. Todas as circunferncias tm raios de mesma medida. Seus centros so os pontos numerados de 1 a 7. Observe que, por exemplo, a circunferncia de centro 2 corta a circunferncia do meio nos pontos 3 e 7. 

101. Observe os desenhos _`[no adaptados_`], sabendo que as circunferncias de centros A e B tm raios de mesma medida. 
 a) No desenho 1, toda reta que passa por X  eixo de simetria do segmento? 
 b) No desenho 2, a reta que passa por X e por Y  eixo de simetria do segmento? 
 c) Que tipo de tringulo  o tringulo {a{x{b? 
 d) Que tipo de quadriltero  {a{x{b{y?

102. Construa um losango cujas diagonais meam 6 cm e 5 cm.
 103. Trace um tringulo qualquer, usando apenas rgua. Depois, trace as mediatrizes de cada um de seus lados. Haver uma grande coincidncia. Voc sabe dizer qual ?
 104. Um publicitrio criou um smbolo que sugere uma rvore, para uma associao que combate o desmatamento das florestas brasileiras. O  o centro da circunferncia cujo raio  igual  base do tringulo e a metade dos lados iguais do tringulo issceles. Com essas indicaes, desenhe o smbolo usando rgua e compasso. Use a medida *x* igual a 3 cm. 
 105. Transporte este ngulo 
  _`[no adaptado_`] para seu 
  caderno: 
  Para o transporte: 
  trace a semirreta de origem A, que contm B; 
  transfira com compasso a circunferncia de centro A e raio 
  ^c?{a{b* para o caderno, marcando o ponto B; 
<P>
  abra o compasso de B at C e marque C no caderno. 
  Feito isso, trace a bissetriz do ngulo :?{b{a{c*.
 106. Um desafio: construir um ngulo medindo 75. 
  Sugesto: primeiro, trace um ngulo de 30; depois, separadamente, faa um de 45; finalmente, usando o transporte, como no exerccio anterior, faa o ngulo de 75. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<185>
9- Algumas construes no espao 

  No item anterior, tratamos de figuras geomtricas planas. Neste item, vamos abordar figuras espaciais, especialmente aquelas que servem de modelo para embalagens. Os conhecimentos sobre figuras planas sero teis no estudo das figuras espaciais. 
<P>
Poliedros 

  Para ter uma ideia do que so poliedros, veja as ilustraes: 

<R+>
_`[{sete ilustraes no adaptadas: quatro poliedros e trs no poliedros_`]
<R->

  Os *poliedros* so formados por superfcies planas. Cada uma delas  uma face do poliedro. Cada face  um polgono. J os no poliedros tm superfcies curvas e, neles, no distinguimos faces. 

Construindo prismas 

  Nas embalagens com forma de poliedro, destacam-se os *prismas*. Eles tm duas faces congruentes, chamadas de bases, ligadas por faces laterais retangulares. Essas faces podem tambm ser paralelogramos, mas no trataremos desse caso. 
<P>
  Veja algumas embalagens comuns com forma de prisma: 

<R+>
_`[{figura A: caixa de pizza com faces laterais retangulares_`]
 Legenda: Prisma de bases octogonais.

_`[{figura B: caixa de chocolate_`]
 Legenda: Prisma de bases triangulares.

_`[{figura C: caixa de leite 
  longa-vida_`]
 Legenda: O bloco retangular  um prisma.

_`[{figura D: caixa de panetone_`]
 Legenda: Prisma de bases hexagonais.
<R->

<186>
  Todas essas embalagens podem ser construdas dobrando e colando um molde plano, que chamamos de *planificao*. Veja as planificaes _`[no adaptadas_`] das embalagens A, B e C das figuras anteriores. 
<P>
Construindo pirmides 

  Pirmides so poliedros formados por um polgono chamado de base mais faces laterais triangulares, que tm um ponto comum chamado de vrtice da pirmide. Veja a ilustrao _`[no adaptada_`] de uma pirmide e sua planificao: 

<F->
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  pea orientao ao professor  y
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<F+>

  Embalagens com forma de pirmide so raras. Mas so comuns embalagens com a forma de uma "pirmide cortada", cujo nome matemtico  *tronco de pirmide*. 
  Embalagens de panetones costumam ter essa forma. A forma  obtida quando uma pirmide  cortada por um plano paralelo a sua base. Veja: 
<P>
<R+>
_`[{figura de uma pirmide cortada por um plano paralelo a sua 
  base_`]
<R->

<187>
Construindo cilindros 

  Nas embalagens com formas no polidricas, a forma de cilindro  a mais comum. Veja como se obtm uma embalagem com forma de cilindro: 

<R+>
_`[{trs figuras descritas a 
  seguir_`]

  Uma folha retangular  enrolada e forma um cilindro com bases circulares.
<R->

Construindo cones 

  Tendo visto como se obtm um cilindro, voc pode pensar que, para obter uma embalagem com forma de cone, deve-se "enrolar" um tringulo. Entretanto, isso no daria certo. A linha da base no ficaria em um plano. Se voc duvida, faa a experincia! 
  Para se obter um cone,  preciso "enrolar" um setor circular como o da figura _`[no adaptada_`].  

<F->
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  pea orientao ao professor  y
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<F+>

  Os cones no costumam ser usados como embalagens. Entretanto, um "cone cortado", ou *tronco de cone*,  uma forma bastante comum. Copinhos de iogurte costumam ter essa forma. Essas embalagens podem ser obtidas da mesma forma que obtivemos as "pirmides cortadas". Nesse caso, cortamos o cone por um plano paralelo a sua base. 
  Observe: 

<R+>
_`[{figura de uma cone cortada por um plano paralelo a sua base_`]
<R->

<188>
<P>
  Veja a ilustrao _`[no adaptada_`] de um tronco de cone desse tipo e sua planificao: 

<F->
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  pea orientao ao professor  y
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<F+>

O raio da base de um cone 

  Um problema tpico quando se fabrica um cone  calcular o raio de sua base. Imagine que partimos de um setor circular determinado por um ngulo central de 120} e raio de 20 cm. Nesse caso, podemos calcular o comprimento do arco do setor: 360120=?2'^p'20*x. 
  Os clculos do x^=41,9 cm. 
  Esse arco, quando o setor  "enrolado", vai resultar na circunferncia em torno da base. 
  Vamos calcular o raio da circunferncia da base: 
 41,9=2'^p'r 
 r^=6,6 cm. 
<P>
Atividades

<R+>
107. Na ilustrao _`[no adaptada_`] h um poliedro irregular bem esquisito. O ponto A  um de seus vrtices; o segmento {a{b  uma de suas arestas; o polgono {a{b{c  uma de suas faces. 
 a) Quantos so as arestas, vrtices e faces desse poliedro? 
 b) Quantas das faces so tringulos? 

<F->
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  pea orientao ao professor  y
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<F+>

108. Como voc deve saber, as embalagens de leite longa-vida tm a forma de blocos retangulares, que so um tipo de prisma. 
  Medi comprimento, largura e altura de uma embalagem de 1 litro e obtive os valores indicados na figura. 

_`[{figura: caixa de leite medindo 16,5 cm de altura, 9,5 cm de largura e 6,5 cm de profundi-
  dade_`]

a) Qual  o volume desse prisma? 
 b) Se voc acertou o clculo, obteve um volume maior que 1 litro (ou 1.000 cm3). 
  Entretanto, na embalagem de 1 litro, o volume no deveria ser exatamente 1 L?

<189>
109. Observe as planificaes. 

_`[{figuras: quatro planificaes no adaptadas_`]

  Diga qual delas  planificao de: 
 a) pirmide; 
 b) cubo;
 c) cilindro;
 d) bloco retangular.

<F->
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<F+>
<P>
110. Uma fbrica de leite em p embala as latas de leite da maneira que se v na ilustrao. 

_`[{ilustrao: caixa com doze latas dispostas em quatro fileiras, com trs latas em cada uma_`]

  Sabendo que as caixas tm a forma de prisma de base retangular e que as latas tm a forma de cilindros com altura de 12 cm e raio da base de 5 cm, encontre as dimenses mnimas da caixa.
 111. Este  um desafio! Um especialista em projetos de utenslios criou um copinho de aperitivo baseado na forma de tronco de cone. Ele seguiu o esquema a seguir:
<P>
_`[{figura: um setor circular com as medidas de raio 4 e 10 cm. Logo abaixo, a figura de um copo construdo a partir do setor circular_`]

  Qual  a medida do raio *r* da base do copo? Qual  a medida do raio R da boca do copo?

Pensando em casa 

112. Determine a altura da embalagem da ilustrao, que tem forma de bloco retangular, para que seu volume seja 540 cm3.

_`[{ilustrao: um bloco retangular com base quadrada medindo 6 cm de lado_`]

113. Um menino, querendo empinar pipa, enrolou 72 m de linha em uma lata de leo, com forma de bloco retangular, como mostra a ilustrao a seguir. 
<P>
_`[{ilustrao: um bloco retangular medindo 4 cm de altura, 5 cm de largura e 12 cm de profundidade_`]

  Quantas voltas completas o barbante deu em torno da lata?

114. Indique a que figuras espaciais pertencem as planificaes _`[no adaptadas_`].

<F->
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  pea orientao ao professor  y
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<F+>

115. Se a superfcie lateral de um cilindro for estendida em um plano, temos um retngulo de 11 cm por 15,7 cm. Sabendo que a altura desse cilindro  11 cm, determine a medida do raio de sua base. 
<R->

<190>
<P>
Ao sobre figuras espaciais

Construes geomtricas em trs
  dimenses

  Formam-se grupos de trs alunos. 
  Para cada grupo o professor d uma tarefa. 
  Trata-se de construir, em cartolina, um objeto baseado em uma figura espacial. O grupo deve apresentar o objeto pronto e explicar sua construo para o resto da classe, mostrando a planificao usada, os clculos etc. 
  Sugerimos aqui quatro tarefas. H uma ilustrao, com indicaes, para cada uma (medidas, planificao ou aparncia). No  obrigatrio segui-las, mas elas podem ajudar. 

<R+>
_`[{quatro figuras no adaptadas_`]
 Legenda 1: Vaso baseado em tronco de pirmide.
 Legenda 2: Copo baseado em tronco de cone.
 Legenda 3: Copo baseado em 
  cilindro.
 Legenda 4: Caixa com forma de prisma de base triangular.
<R->

<F->
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  pea orientao ao professor  y
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<F+>

  Outras tarefas, mais fceis ou mais difceis, podem ser inventadas pelos grupos ou pelo professor. Se forem realizadas apenas as sugeridas, grupos diferentes podem executar uma mesma tarefa. Isso permitir comparar os trabalhos. 

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quarta Parte

